勾股定理











直角邊的平方和等於斜邊的平方

































几何学

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一个球面投射到一个平面。



  • 纲要（英语：Outline of geometry）

  • 历史（英语：History of geometry）











几何学家



Crystal Clear app 3d.png 几何学主题

  • 查

  • 论

  • 编




《测圆海镜》中十五个勾股形


畢氏定理（英语：Pythagorean theorem，希臘語：Πυθαγόρειο θεώρημα）又称商高定理、畢達哥拉斯定理、毕氏定理、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。


勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。


据《周髀算經》中记述，公元前一千多年周公与商高论数的对话中，商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素，其一，“以为勾的广三，股修四，径隅五”。其二，“既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三，高为四的直角三角形，弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。[1]


此外，《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”。[來源請求]


赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦”。


古埃及在公元前2600年的纸莎草就有（3,4,5）这一组勾股数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（12709，13500，18541）。


有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理就是等邊對等角，是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理[2]。




目录






  • 1 定理


  • 2 其他形式


  • 3 勾股数组


  • 4 歷史


    • 4.1 勾股数


    • 4.2 普遍定理的发现


    • 4.3 证明




  • 5 證明


    • 5.1 趙爽勾股圆方图证明法


    • 5.2 刘徽“割补术”证明法


    • 5.3 利用相似三角形的證法


    • 5.4 歐幾里得的證法


    • 5.5 圖形重新排列證法




  • 6 勾股定理的逆定理


  • 7 逆定理的證明


    • 7.1 同一法


    • 7.2 餘弦定理


    • 7.3 相似三角形


    • 7.4 非欧几何




  • 8 参考文献


  • 9 外部連結


  • 10 參見





定理


在平面上的一個直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a{displaystyle a}a和b{displaystyle b}b，斜边长度是c{displaystyle c}c，那么可以用数学语言表达：



a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}a^{2}+b^{2}=c^{2}


餘弦定理是勾股定理的一個推广[3]。勾股定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一[4]。



其他形式


如果c{displaystyle c}c是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度，勾股定理可以寫成：


a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}a^2 + b^2 = c^2,


如果a{displaystyle a}a和b{displaystyle b}b知道，c{displaystyle c}c可以這樣寫：


c=a2+b2.{displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.,} c = sqrt{a^2 + b^2}. ,


如果斜邊的長度c{displaystyle c}c和其中一條邊（a{displaystyle a}a或b{displaystyle b}b）知道，那另一邊的長度可以這樣計算：


a=c2−b2.{displaystyle a={sqrt {c^{2}-b^{2}}}.,}a = sqrt{c^2 - b^2}. ,

或


b=c2−a2.{displaystyle b={sqrt {c^{2}-a^{2}}}.,}b = sqrt{c^2 - a^2}. ,

簡單來說，只要知道直角三角形的其中兩條邊長，便能求出第三條邊長的長度。



勾股数组


主条目：勾股数

勾股数组是滿足勾股定理a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}a^2 + b^2 = c^2的正整數組(a,b,c){displaystyle (a,b,c)}(a,b,c)，其中的a,b,c{displaystyle a,b,c}a,b,c称为勾股数。例如(3,4,5){displaystyle (3,4,5)}(3,4,5)就是一組勾股数組。


任意一组勾股数(a,b,c){displaystyle (a,b,c)}(a,b,c)可以表示为如下形式：a=k(m2−n2),b=2kmn,c=k(m2+n2){displaystyle a=k(m^{2}-n^{2}),b=2kmn,c=k(m^{2}+n^{2})}a=k(m^2-n^2), b=2kmn, c=k(m^2+n^2)，其中k,m,n∈N∗,m>n{displaystyle k,m,nin mathbb {N*} ,m>n}k, m,nin mathbb{N*},m>n 。



歷史




公元前18世纪记录各种勾股数组的巴比伦石板


這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股数、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。



勾股数


勾股数出现得较早，例如埃及的纸草书里面就有（3,4,5）这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541，12709，13500）。后来的中国的算經、印度与阿拉伯的数学书也有记载[5]。在中国，《周髀算经》中也记述了(3,4,5)这一组勾股数，商高答周公问曰：“勾广三，股备四，径隅五”；三国时代的赵爽对《周髀算經》内的勾股定理作出了详细注释：“勾股个自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”。《九章算术》卷第九《句股》章详细讨论了勾股定理的运用，魏国数学家刘徽反复运用勾股定理求圆周率。


金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系統的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。



普遍定理的发现


巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世，不过在他死后一千年，5世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派：







普魯塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯，但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理，以素食闻名的毕达哥拉斯杀牛更是不可思议。


在中国，记载秦朝的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数。定理首次载于书面则是在成书于西汉但内容收集整理自公元前一千多年以来的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中：










因此有些人将这个定理称之为陈子定理。


东汉末年赵爽《周髀算经注》《勾股圆方图注》记载：










赵爽《勾股圆方图》


在《九章算术注》中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率，并利用“割补术”做“青朱出入图”完成勾股定理的几何图形证明。


直至現時為止，仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。



证明


毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来的勾股定理的书面证明最早见于几何原本第一册的第47个命题。在中国，东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。最近，巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉（英语：Bharati Krishna Tirthaji）在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。



證明


這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。


有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。



趙爽勾股圆方图证明法


中国三国时期趙爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。




趙爽 勾股圆方图证明勾股定理法动画



刘徽“割补术”证明法


中国魏晋时期伟大数学家刘徽作《九章算术注》时，依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。[6]”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。




刘徽 青朱出入图



利用相似三角形的證法




相似三角形的證明


有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。


設ABC{displaystyle ABC}ABC為一直角三角形，直角於角C{displaystyle C}C（看右圖）。從點C{displaystyle C}C畫上三角形的高，並將此高與AB{displaystyle AB}AB的交叉點稱之為H{displaystyle H}H。此新三角形ACH{displaystyle ACH}{displaystyle ACH}和原本的三角形ABC{displaystyle ABC}ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A{displaystyle A}A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH{displaystyle CBH}{displaystyle CBH}和三角形ABC{displaystyle ABC}ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：


因為


BC=a,AC=b, and AB=c,{displaystyle BC=a,AC=b,{mbox{ and }}AB=c,!} BC=a, AC=b, mbox{ and } AB=c, !

所以


ac=HBa and bc=AHb.{displaystyle {frac {a}{c}}={frac {HB}{a}}{mbox{ and }}{frac {b}{c}}={frac {AH}{b}}.,} frac{a}{c}=frac{HB}{a} mbox{ and } frac{b}{c}=frac{AH}{b}.,

可以寫成


a2=c×HB and b2=c×AH.{displaystyle a^{2}=ctimes HB{mbox{ and }}b^{2}=ctimes AH.,}a^2=ctimes HB mbox{ and }b^2=ctimes AH.,

綜合這兩個方程式，我們得到


a2+b2=c×HB+c×AH=c×(HB+AH)=c2.{displaystyle a^{2}+b^{2}=ctimes HB+ctimes AH=ctimes (HB+AH)=c^{2}.,!}a^2+b^2=ctimes HB+ctimes AH=ctimes(HB+AH)=c^2.,!

換句話說:


a2+b2=c2.{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.,!}a^2+b^2=c^2.,!


歐幾里得的證法




《幾何原本》中的證明


在歐幾里得的《幾何原本》一書中给出勾股定理的以下証明。設△ABC{displaystyle bigtriangleup ABC}{displaystyle bigtriangleup ABC}為一直角三角形，其中A為直角。從A{displaystyle A}A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延长此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。


在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：



  • 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）

  • 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。

  • 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。

  • 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。


證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。




证明辅助图2


其證明如下：



  1. 設△ABC{displaystyle triangle ABC}triangle ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB{displaystyle angle CAB}{displaystyle angle CAB}。

  2. 其邊為BC{displaystyle BC}BC、AB{displaystyle AB}AB、和CA{displaystyle CA}{displaystyle CA}，依序繪成四方形CBDE{displaystyle CBDE}{displaystyle CBDE}、BAGF{displaystyle BAGF}{displaystyle BAGF}和ACIH{displaystyle ACIH}{displaystyle ACIH}。

  3. 畫出過點A{displaystyle A}A之BD{displaystyle BD}BD、CE{displaystyle CE}{displaystyle CE}的平行線。此線將分別與BC{displaystyle BC}BC和DE{displaystyle DE}DE直角相交於K{displaystyle K}K、L{displaystyle L}L。

  4. 分別連接CF{displaystyle CF}{displaystyle CF}、AD{displaystyle AD}AD，形成兩個三角形BCF{displaystyle BCF}{displaystyle BCF}、BDA{displaystyle BDA}{displaystyle BDA}。


  5. ∠CAB{displaystyle angle CAB}{displaystyle angle CAB}和∠BAG{displaystyle angle BAG}{displaystyle angle BAG}都是直角，因此C{displaystyle C}C、A{displaystyle A}A和G{displaystyle G}G都是共线的，同理可证B{displaystyle B}B、A{displaystyle A}A和H{displaystyle H}H共线。


  6. ∠CBD{displaystyle angle CBD}{displaystyle angle CBD}和∠FBA{displaystyle angle FBA}{displaystyle angle FBA}皆為直角，所以∠ABD{displaystyle angle ABD}{displaystyle angle ABD}全等於∠FBC{displaystyle angle FBC}{displaystyle angle FBC}。

  7. 因為AB{displaystyle AB}AB和BD{displaystyle BD}BD分別等於FB{displaystyle FB}{displaystyle FB}和BC{displaystyle BC}BC，所以△ABD{displaystyle triangle ABD}{displaystyle triangle ABD}必須相等於△FBC{displaystyle triangle FBC}{displaystyle triangle FBC}。

  8. 因為A{displaystyle A}A與K{displaystyle K}K和L{displaystyle L}L在同一直线上，所以四方形BDLK{displaystyle BDLK}{displaystyle BDLK}必須二倍面積於△ABD{displaystyle triangle ABD}{displaystyle triangle ABD}。

  9. 因為C{displaystyle C}C、A{displaystyle A}A和G{displaystyle G}G在同一直线上，所以正方形BAGF{displaystyle BAGF}{displaystyle BAGF}必須二倍面積於△FBC{displaystyle triangle FBC}{displaystyle triangle FBC}。

  10. 因此四邊形BDLK{displaystyle BDLK}{displaystyle BDLK}必須和BAGF{displaystyle BAGF}{displaystyle BAGF}有相同的面積=AB2{displaystyle AB^{2}}{displaystyle AB^{2}}。

  11. 同理可證，四邊形CKLE{displaystyle CKLE}{displaystyle CKLE}必須有相同的面積ACIH=AC2{displaystyle ACIH=AC^{2}}{displaystyle ACIH=AC^{2}}。

  12. 把這兩個結果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BDtimes BK+KLtimes KC}{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BDtimes BK+KLtimes KC}

  13. 由於BD=KL{displaystyle BD=KL}{displaystyle BD=KL}，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC{displaystyle BDtimes BK+KLtimes KC=BDleft(BK+KCright)=BDtimes BC}{displaystyle BDtimes BK+KLtimes KC=BDleft(BK+KCright)=BDtimes BC}

  14. 由於CBDE是個正方形，因此AB2+AC2=BC2{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}}{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}}。


此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的[7]


由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。



圖形重新排列證法




以面積減算法證明


此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a+b)2{displaystyle (a+b)^{2}}(a+b)^2。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a2+b2{displaystyle a^{2}+b^{2}}a^2+b^2，右方餘下面積為c2{displaystyle c^{2}}c^2，兩者相等。證畢。




以重新排列法證明






以動畫方式來論證畢氏定理



勾股定理的逆定理


勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中AB=c{displaystyle AB=c}{displaystyle AB=c}為最長邊:



  • 如果a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}a^2 + b^2 = c^2 ,，則△ABC{displaystyle triangle ABC}triangle ABC是直角三角形。

  • 如果a2+b2>c2{displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},}a^2 + b^2 > c^2 ,，則△ABC{displaystyle triangle ABC}triangle ABC是銳角三角形（若無先前條件AB=c{displaystyle AB=c}{displaystyle AB=c}為最長邊，則該式的成立僅滿足∠C{displaystyle angle C}angle C是銳角）。

  • 如果a2+b2<c2{displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2},}a^2 + b^2 < c^2 ,，則△ABC{displaystyle triangle ABC}triangle ABC是鈍角三角形。


（這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸）



逆定理的證明


勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。



同一法


構造△A′B′C′{displaystyle triangle A'B'C'}triangle A'B'C'，使a′=a,b′=b,∠C′=90o{displaystyle a'=a,b'=b,angle C'=90^{operatorname {mathrm {o} } }}a'=a,b'=b,angle C'=90^{operatorname {mathrm{o} }}。


根據勾股定理，c′=a′2+b′2=a2+b2=c{displaystyle c'={sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}={sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c}c' = sqrt{a'^2 + b'^2} = sqrt{a^2 + b^2} = c，從而△A′B′C′≅△ABC{displaystyle triangle A'B'C'cong triangle ABC}triangle A'B'C' cong triangle ABC（SSS）。


因此，∠C=90o{displaystyle angle C=90^{operatorname {mathrm {o} } }}angle C=90^{operatorname {mathrm{o} }}。



餘弦定理


根據餘弦定理，cos⁡C=a2+b2−c22ab{displaystyle cos C={frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}cos C = frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}。由於a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}a^2 + b^2 = c^2 ,，故cos⁡C=0{displaystyle cos C=0,}cos C = 0 ,，從而∠C=90o{displaystyle angle C=90^{operatorname {mathrm {o} } }}angle C=90^{operatorname {mathrm{o} }}。



相似三角形


在AB{displaystyle AB}AB边上截取点D{displaystyle D}D使∠DCB=∠A{displaystyle angle DCB=angle A}angle DCB = angle A。


在△CDB{displaystyle triangle CDB,}triangle CDB ,与△ACB{displaystyle triangle ACB,}triangle ACB, 中，



∠B=∠B,∠DCB=∠A⇒△CDB∼△ACB{displaystyle angle B=angle B,angle DCB=angle ARightarrow triangle CDBsim triangle ACB}angle B=angle B, angle DCB=angle A Rightarrow triangle CDB sim triangle ACB

。


從而，BCBA=BDBC⇒BD=a2c{displaystyle {frac {BC}{BA}}={frac {BD}{BC}}Rightarrow BD={frac {a^{2}}{c}}}frac {BC}{BA} = frac {BD}{BC} Rightarrow BD= frac {a^2}c，以及CDAC=CBAB⇒CD=abc{displaystyle {frac {CD}{AC}}={frac {CB}{AB}}Rightarrow CD={frac {ab}{c}}}frac {CD}{AC} = frac {CB}{AB} Rightarrow CD= frac {ab}c。


另一方面，AD=AB−BD=c−a2c=b2c{displaystyle AD=AB-BD=c-{frac {a^{2}}{c}}={frac {b^{2}}{c}}}AD=AB-BD=c- frac {a^2}c=frac {b^2}c，故由DCAD=BCAC=BDCD=ab{displaystyle {frac {DC}{AD}}={frac {BC}{AC}}={frac {BD}{CD}}={frac {a}{b}}}frac {DC}{AD}=frac {BC}{AC} = frac {BD}{CD} = frac ab知，△ACD∼△CBD{displaystyle triangle ACDsim triangle CBD}triangle ACD sim triangle CBD。


因而，∠BDC=∠CDA=90o{displaystyle angle BDC=angle CDA=90^{operatorname {mathrm {o} } }}angle BDC=angle CDA=90^{operatorname {mathrm{o} }}，所以∠ACB=∠CDB=90o{displaystyle angle ACB=angle CDB=90^{operatorname {mathrm {o} } }}angle ACB=angle CDB=90^{operatorname {mathrm{o} }}。



非欧几何


主条目：非欧几里得几何

勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的[8]。因为勾股定理的成立涉及到了平行公设。[9][10]



参考文献





  1. ^ 曲安京. [http:w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d203/20304.pdf 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明] (PDF). 


  2. ^ 蔡聰明. 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生. （原始内容存档于2013-11-10）. 


  3. ^ 中学数学敎学. 中国人民大学书报資料社. 1984: 49. 


  4. ^ 李信明. 中國數學五千年. 台北: 台灣書店. 1998: 106. ISBN 9575671511. 


  5. ^ 《数学辞海》第六卷，山西敎育出版社, 2002年出版，第618页。


  6. ^ 刘徽《九章算术注》


  7. ^ 《幾何原本》第1.47節（英文），歐幾里德著，2006年12月19日存取


  8. ^ Stephen W. Hawking. cited work. 2005: 4. ISBN 0-7624-1922-9. 


  9. ^ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics 2nd. 2003: 2147. ISBN 1-58488-347-2. The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem. 


  10. ^ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment. Cambridge University Press. 2006: 11. ISBN 0-521-85959-X. We could include...the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate. 




外部連結



  • 勾股定理（MathWorld）（英文）


參見




  • 直角三角形

  • 勾股数

  • 余弦定理

  • 青朱出入图

  • 《史记·夏本纪》记载大禹治水：“陆行乘车，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋。左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山。”其中的规和矩就是运用勾股定理的实用工具之一。












































































  • 查

  • 论

  • 编


三角函數

基本函數


正弦 · 餘弦 · 正切 · 餘切 · 正割 · 餘割
Triangle with notations 2.svg
反函數


反正弦 · 反餘弦 · 反正切 · 反餘切 · 反正割‎ · 反餘割
其他函數


正矢 · 餘矢 · cis函數 · 餘cis函數 · 半正矢 · 半餘矢 · 外正割 · 外餘割 · atan2 · 古德曼函數
定理


正弦定理 · 餘弦定理 · 正切定理 · 餘切定理 · 正割定理 · 勾股定理
其他


三角函數恆等式 · 三角函數精確值 · 三角函数积分表 · 三角函数表 · 雙曲三角函數 · 雙曲三角函數恆等式



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奥古斯特三世 (波兰)

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奥古斯特三世 （弗里德里希·奥古斯特二世） 波兰国王 萨克森选帝侯 立陶宛大公 奥古斯特三世（弗里德里希·奥古斯特二世） 在位 1734年 – 1763年10月5日 加冕 1734年1月17日 克拉科夫瓦维尔大教堂 頭銜 Augustus III, Dei Gratia rex Poloniae, magnus dux Lithuaniae, Russie, Prussiae, Masoviae, Samogitiae, Kijoviae,Volhyniae, Podoliae, Podlachiae, Livoniae, Smolensciae, Severiae, Czerniechoviae, nec non haereditarius dux Saxoniae princeps et elector etc 出生 1696年10月17日 德国萨克森德累斯顿 去世 1763年10月5日 德国萨克森德累斯顿 葬於 德累斯顿宫廷教堂王室墓地 前任 波兰国王：斯坦尼斯瓦夫 萨克森选王侯：弗雷德里克·奥古斯特一世 繼任 波兰国王：斯坦尼斯瓦夫·奥古斯特 萨克森选王侯：弗里德里希·克里斯蒂安 王后 玛丽亚·约瑟法 子嗣 弗里德里希·克里斯蒂安 西班牙王后玛利亚·阿玛利亚 巴伐利亚女选帝侯玛利亚·安娜·索菲亚 王子弗兰兹·泽维尔 法国王太子妃妃玛利亚·约瑟法 库尔兰公爵卡尔 公主，勒米尔蒙公主修道院院长玛利亚·克里斯蒂安， 特申公爵阿尔伯特 特里尔大主教克莱门斯·温斯拉 公主，托伦和埃森 公主修道院院长玛利亚·库尼贡德 更多 王室 韦廷王朝 父親 奥古斯特二世 母親 克里斯蒂安妮·埃伯哈汀妮 奥古斯特三世 ，有时被以绰号称为 撒克逊 或 臃肿者 （德語： August III. von Polen ; 波蘭語： August III. Sas, August III. Gruby ），在1733年到1763年间，为萨克森选王侯，称为 弗里德里希·奥古斯特二世 (德語： Kurfürst Friedrich August II. )，在1734年到1763年间，为波兰国王和立陶宛大公，綽號「肥胖王」...
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