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直角邊的平方和等於斜邊的平方

几何学
一个球面投射到一个平面。
纲要（英语：Outline of geometry） 历史（英语：History of geometry）
分支（英语：List of geometry topics） 欧几里得 非欧几里得 椭圆 球面 双曲 射影 仿射 合成（英语：Synthetic geometry） 解析 代数 微分 黎曼 辛几何 有限
概念 特性 维度 尺规作图 角度 曲线 对角线 平行 垂直 顶点 全等 相似 对称
零 / 一维 点 直线 线段 射线 长度
二维 平面 面积 多边形 三角形 Altitude 斜边 勾股定理 平行四边形 正方形 三角形 菱形 平行四边形 四边形 梯形 筝形 圆形 直径 周长 面积
三维 体积 立方体 长方体 圆柱体 棱锥 球体
四维- / 其他维度 四维超正方体 超球體
几何学家
按照姓名 会田安明 阿耶波多 Ahmes 海什木 阿波罗尼奥斯 阿基米德 阿蒂亚 Baudhayana 鲍耶 Brahmagupta Cartan Descartes 欧几里得 欧拉 高斯 格罗莫夫 希尔伯特 Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám 克莱因 罗巴切夫斯基 Manava 闵可夫斯基 明安图 帕斯卡 毕达哥拉斯 Parameshvara 庞加莱 黎曼 Sakabe Sijzi 图西 維布倫 Virasena 杨辉 al-Yasamin 张衡 几何学家列表
按照时期 公元前 Ahmes Baudhayana Manava 毕达哥拉斯 欧几里得 阿基米德 阿波罗尼奥斯 1–1400年代 张衡 Kātyāyana 阿耶波多 Brahmagupta Virasena 海什木 Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi 杨辉 Parameshvara 1400–1700年代 Jyeṣṭhadeva Descartes 帕斯卡 明安图 欧拉 Sakabe 会田安明 1700–1900年代 高斯 罗巴切夫斯基 鲍耶 黎曼 克莱因 庞加莱 希尔伯特 闵可夫斯基 Cartan 維布倫 现代 阿蒂亚 格罗莫夫
几何学主题
查 论 编

《测圆海镜》中十五个勾股形

畢氏定理（英语：Pythagorean theorem，希臘語：Πυθαγόρειο θεώρημα）又称商高定理、畢達哥拉斯定理、毕氏定理、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。

据《周髀算經》中记述，公元前一千多年周公与商高论数的对话中，商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素，其一，“以为勾的广三，股修四，径隅五”。其二，“既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三，高为四的直角三角形，弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。^[1]

此外，《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”。^{[來源請求]}

赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦”。

古埃及在公元前2600年的纸莎草就有（3,4,5）这一组勾股数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（12709，13500，18541）。

有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理就是等邊對等角，是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理^[2]。

定理

在平面上的一個直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a{displaystyle a}和b{displaystyle b}，斜边长度是c{displaystyle c}，那么可以用数学语言表达：

a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

餘弦定理是勾股定理的一個推广^[3]。勾股定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一^[4]。

其他形式

如果c{displaystyle c}是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度，勾股定理可以寫成：

a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}

如果a{displaystyle a}和b{displaystyle b}知道，c{displaystyle c}可以這樣寫：

c=a2+b2.{displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.,}

如果斜邊的長度c{displaystyle c}和其中一條邊（a{displaystyle a}或b{displaystyle b}）知道，那另一邊的長度可以這樣計算：

a=c2−b2.{displaystyle a={sqrt {c^{2}-b^{2}}}.,}

或

b=c2−a2.{displaystyle b={sqrt {c^{2}-a^{2}}}.,}

簡單來說，只要知道直角三角形的其中兩條邊長，便能求出第三條邊長的長度。

勾股数组

勾股数组是滿足勾股定理a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}的正整數組(a,b,c){displaystyle (a,b,c)}，其中的a,b,c{displaystyle a,b,c}称为勾股数。例如(3,4,5){displaystyle (3,4,5)}就是一組勾股数組。

任意一组勾股数(a,b,c){displaystyle (a,b,c)}可以表示为如下形式：a=k(m2−n2),b=2kmn,c=k(m2+n2){displaystyle a=k(m^{2}-n^{2}),b=2kmn,c=k(m^{2}+n^{2})}，其中k,m,n∈N∗,m>n{displaystyle k,m,nin mathbb {N*} ,m>n}。

歷史

公元前18世纪记录各种勾股数组的巴比伦石板

這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股数、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

勾股数

勾股数出现得较早，例如埃及的纸草书里面就有（3,4,5）这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541，12709，13500）。后来的中国的算經、印度与阿拉伯的数学书也有记载^[5]。在中国，《周髀算经》中也记述了(3,4,5)这一组勾股数，商高答周公问曰：“勾广三，股备四，径隅五”；三国时代的赵爽对《周髀算經》内的勾股定理作出了详细注释：“勾股个自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦”。《九章算术》卷第九《句股》章详细讨论了勾股定理的运用，魏国数学家刘徽反复运用勾股定理求圆周率。

金朝数学家李冶的《测圆海镜》通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系統的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。

普遍定理的发现

巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世，不过在他死后一千年，5世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派：

普魯塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯，但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理，以素食闻名的毕达哥拉斯杀牛更是不可思议。

在中国，记载秦朝的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数。定理首次载于书面则是在成书于西汉但内容收集整理自公元前一千多年以来的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中：

因此有些人将这个定理称之为陈子定理。

东汉末年赵爽《周髀算经注》《勾股圆方图注》记载：

赵爽《勾股圆方图》

在《九章算术注》中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率，并利用“割补术”做“青朱出入图”完成勾股定理的几何图形证明。

直至現時為止，仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。

证明

毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来的勾股定理的书面证明最早见于几何原本第一册的第47个命题。在中国，东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。最近，巴勒蒂·克爾什納·蒂爾特吉（英语：Bharati Krishna Tirthaji）在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。

趙爽勾股圆方图证明法

中国三国时期趙爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。

趙爽 勾股圆方图证明勾股定理法动画

刘徽“割补术”证明法

中国魏晋时期伟大数学家刘徽作《九章算术注》时，依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。^[6]”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。

刘徽 青朱出入图

利用相似三角形的證法

相似三角形的證明

有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。

設ABC{displaystyle ABC}為一直角三角形，直角於角C{displaystyle C}（看右圖）。從點C{displaystyle C}畫上三角形的高，並將此高與AB{displaystyle AB}的交叉點稱之為H{displaystyle H}。此新三角形ACH{displaystyle ACH}和原本的三角形ABC{displaystyle ABC}相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A{displaystyle A}這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH{displaystyle CBH}和三角形ABC{displaystyle ABC}也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

因為

BC=a,AC=b, and AB=c,{displaystyle BC=a,AC=b,{mbox{ and }}AB=c,!}

所以

ac=HBa and bc=AHb.{displaystyle {frac {a}{c}}={frac {HB}{a}}{mbox{ and }}{frac {b}{c}}={frac {AH}{b}}.,}

可以寫成

a2=c×HB and b2=c×AH.{displaystyle a^{2}=ctimes HB{mbox{ and }}b^{2}=ctimes AH.,}

綜合這兩個方程式，我們得到

a2+b2=c×HB+c×AH=c×(HB+AH)=c2.{displaystyle a^{2}+b^{2}=ctimes HB+ctimes AH=ctimes (HB+AH)=c^{2}.,!}

換句話說:

a2+b2=c2.{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.,!}

歐幾里得的證法

《幾何原本》中的證明

在歐幾里得的《幾何原本》一書中给出勾股定理的以下証明。設△ABC{displaystyle bigtriangleup ABC}為一直角三角形，其中A為直角。從A{displaystyle A}點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延长此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

• 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）


• 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。


• 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。


• 任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

证明辅助图2

其證明如下：

1. 設△ABC{displaystyle triangle ABC}為一直角三角形，其直角為∠CAB{displaystyle angle CAB}。


2. 其邊為BC{displaystyle BC}、AB{displaystyle AB}、和CA{displaystyle CA}，依序繪成四方形CBDE{displaystyle CBDE}、BAGF{displaystyle BAGF}和ACIH{displaystyle ACIH}。


3. 畫出過點A{displaystyle A}之BD{displaystyle BD}、CE{displaystyle CE}的平行線。此線將分別與BC{displaystyle BC}和DE{displaystyle DE}直角相交於K{displaystyle K}、L{displaystyle L}。


4. 分別連接CF{displaystyle CF}、AD{displaystyle AD}，形成兩個三角形BCF{displaystyle BCF}、BDA{displaystyle BDA}。


5. 
   ∠CAB{displaystyle angle CAB}和∠BAG{displaystyle angle BAG}都是直角，因此C{displaystyle C}、A{displaystyle A}和G{displaystyle G}都是共线的，同理可证B{displaystyle B}、A{displaystyle A}和H{displaystyle H}共线。


6. 
   ∠CBD{displaystyle angle CBD}和∠FBA{displaystyle angle FBA}皆為直角，所以∠ABD{displaystyle angle ABD}全等於∠FBC{displaystyle angle FBC}。


7. 因為AB{displaystyle AB}和BD{displaystyle BD}分別等於FB{displaystyle FB}和BC{displaystyle BC}，所以△ABD{displaystyle triangle ABD}必須相等於△FBC{displaystyle triangle FBC}。


8. 因為A{displaystyle A}與K{displaystyle K}和L{displaystyle L}在同一直线上，所以四方形BDLK{displaystyle BDLK}必須二倍面積於△ABD{displaystyle triangle ABD}。


9. 因為C{displaystyle C}、A{displaystyle A}和G{displaystyle G}在同一直线上，所以正方形BAGF{displaystyle BAGF}必須二倍面積於△FBC{displaystyle triangle FBC}。


10. 因此四邊形BDLK{displaystyle BDLK}必須和BAGF{displaystyle BAGF}有相同的面積=AB2{displaystyle AB^{2}}。


11. 同理可證，四邊形CKLE{displaystyle CKLE}必須有相同的面積ACIH=AC2{displaystyle ACIH=AC^{2}}。


12. 把這兩個結果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BDtimes BK+KLtimes KC}
    


13. 由於BD=KL{displaystyle BD=KL}，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC{displaystyle BDtimes BK+KLtimes KC=BDleft(BK+KCright)=BDtimes BC}
    


14. 由於CBDE是個正方形，因此AB2+AC2=BC2{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}}。

此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的^[7]

由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

圖形重新排列證法

以面積減算法證明

此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a+b)2{displaystyle (a+b)^{2}}。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a2+b2{displaystyle a^{2}+b^{2}}，右方餘下面積為c2{displaystyle c^{2}}，兩者相等。證畢。

以重新排列法證明

以動畫方式來論證畢氏定理

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中AB=c{displaystyle AB=c}為最長邊:

• 如果a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}，則△ABC{displaystyle triangle ABC}是直角三角形。


• 如果a2+b2>c2{displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},}，則△ABC{displaystyle triangle ABC}是銳角三角形（若無先前條件AB=c{displaystyle AB=c}為最長邊，則該式的成立僅滿足∠C{displaystyle angle C}是銳角）。


• 如果a2+b2<c2{displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2},}，則△ABC{displaystyle triangle ABC}是鈍角三角形。

（這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸）

逆定理的證明

勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。

同一法

構造△A′B′C′{displaystyle triangle A'B'C'}，使a′=a,b′=b,∠C′=90o{displaystyle a'=a,b'=b,angle C'=90^{operatorname {mathrm {o} } }}。

根據勾股定理，c′=a′2+b′2=a2+b2=c{displaystyle c'={sqrt {a'^{2}+b'^{2}}}={sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c}，從而△A′B′C′≅△ABC{displaystyle triangle A'B'C'cong triangle ABC}（SSS）。

因此，∠C=90o{displaystyle angle C=90^{operatorname {mathrm {o} } }}。

餘弦定理

根據餘弦定理，cos⁡C=a2+b2−c22ab{displaystyle cos C={frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}。由於a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}，故cos⁡C=0{displaystyle cos C=0,}，從而∠C=90o{displaystyle angle C=90^{operatorname {mathrm {o} } }}。

相似三角形

在AB{displaystyle AB}边上截取点D{displaystyle D}使∠DCB=∠A{displaystyle angle DCB=angle A}。

在△CDB{displaystyle triangle CDB,}与△ACB{displaystyle triangle ACB,}中，

∠B=∠B,∠DCB=∠A⇒△CDB∼△ACB{displaystyle angle B=angle B,angle DCB=angle ARightarrow triangle CDBsim triangle ACB}

。

從而，BCBA=BDBC⇒BD=a2c{displaystyle {frac {BC}{BA}}={frac {BD}{BC}}Rightarrow BD={frac {a^{2}}{c}}}，以及CDAC=CBAB⇒CD=abc{displaystyle {frac {CD}{AC}}={frac {CB}{AB}}Rightarrow CD={frac {ab}{c}}}。

另一方面，AD=AB−BD=c−a2c=b2c{displaystyle AD=AB-BD=c-{frac {a^{2}}{c}}={frac {b^{2}}{c}}}，故由DCAD=BCAC=BDCD=ab{displaystyle {frac {DC}{AD}}={frac {BC}{AC}}={frac {BD}{CD}}={frac {a}{b}}}知，△ACD∼△CBD{displaystyle triangle ACDsim triangle CBD}。

因而，∠BDC=∠CDA=90o{displaystyle angle BDC=angle CDA=90^{operatorname {mathrm {o} } }}，所以∠ACB=∠CDB=90o{displaystyle angle ACB=angle CDB=90^{operatorname {mathrm {o} } }}。

非欧几何

勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的^[8]。因为勾股定理的成立涉及到了平行公设。^[9][10]

参考文献

外部連結

• 
  勾股定理（MathWorld）（英文）
  

參見

• 直角三角形


• 勾股数


• 余弦定理


• 青朱出入图


• 《史记·夏本纪》记载大禹治水：“陆行乘车，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋。左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山。”其中的规和矩就是运用勾股定理的实用工具之一。

查 论 编 三角函數 基本函數 正弦 · 餘弦 · 正切 · 餘切 · 正割 · 餘割 反函數 反正弦 · 反餘弦 · 反正切 · 反餘切 · 反正割‎ · 反餘割 其他函數 正矢 · 餘矢 · cis函數 · 餘cis函數 · 半正矢 · 半餘矢 · 外正割 · 外餘割 · atan2 · 古德曼函數 定理 正弦定理 · 餘弦定理 · 正切定理 · 餘切定理 · 正割定理 · 勾股定理 其他 三角函數恆等式 · 三角函數精確值 · 三角函数积分表 · 三角函数表 · 雙曲三角函數 · 雙曲三角函數恆等式