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三角形
三角形
邊	3
頂點	3
施萊夫利符號	{3}（正三角形時）
面積	有各種求面積的公式； 見下文
內角（度）	180°(內角和)

三角形，又稱三邊形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面图形，是最基本和最少邊的多边形。

一般用大写英语字母A{displaystyle A}、B{displaystyle B}和C{displaystyle C}为三角形的顶点标号；用小写英语字母a{displaystyle a}、b{displaystyle b}和c{displaystyle c}表示边；用α{displaystyle alpha }、β{displaystyle beta }和γ{displaystyle gamma }給角標號，又或者以∠ABC{displaystyle angle ABC}這樣的顶点标号表示。

分类

以角度分類

锐角三角形	钝角三角形	直角三角形

锐角三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角（即小於90°）。

钝角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其余兩角均小於90°。

直角三角形

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。詳見三角函數。

以邊長分類

不等邊三角形	等邊三角形	等腰三角形

不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

等邊三角形

等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 a{displaystyle a} ，则其面積公式為 a234{displaystyle {frac {a^{2}{sqrt {3}}}{4}}} 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

等腰三角形

等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩个角為45度。

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

一般性质

三角不等式

• 三角边長不等式

三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。

• 三角內外角不等式

三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

角度

• 三角形外角

三角形兩內角之和，等於第三角的外角。

• 三角形內角和

在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

畢氏定理

• 勾股定理

勾股定理，又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。设直角三角形的其中一邊c{displaystyle c} 為斜邊，即 c{displaystyle c} 的對角 γ=90∘{displaystyle gamma =90^{circ }} ，則

a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}。

• 勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足

a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}，

則

γ=90∘{displaystyle gamma =90^{circ }}

正弦定理

• 
  正弦定理：

設 R{displaystyle R} 为三角形外接圓半径，則

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R{displaystyle {frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}=2R}

餘弦定理

• 
  餘弦定理：

對於任意三角形：

a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡α{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha }

b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡β{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta }

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma }

勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 α=90∘{displaystyle alpha =90^{circ },} 时， cos⁡α=0{displaystyle cos alpha =0} ，于是 a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡α{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha } 化简为 a2=b2+c2{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} 。

全等及相似

全等三角形

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。

• SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。


• SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。


• ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。


• RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及另外一條直角邊對應地相等。^[1]
  


• AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

注意，SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°。

相似三角形

• AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））


• 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。


• 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。

特殊線段

三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

• 
  中線(median)：三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。


• 
  高线(altitude)：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。


• 
  角平分线(angle bisector)：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。


• 
  垂直平分線(perpendicular bisector)：通過三角形一边中点与該边所垂直的线段，又稱中垂线。

以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

中线长度

设在ΔABC{displaystyle Delta ABC,}中，若三边a{displaystyle a}、b{displaystyle b}、c{displaystyle c,}的中線分别为ma{displaystyle m_{a}}、mb{displaystyle m_{b}}、mc{displaystyle m_{c}}，则：

ma=12b2+12c2−14a2{displaystyle m_{a}={sqrt {{frac {1}{2}}b^{2}+{frac {1}{2}}c^{2}-{frac {1}{4}}a^{2}}}}

mb=12a2+12c2−14b2{displaystyle m_{b}={sqrt {{frac {1}{2}}a^{2}+{frac {1}{2}}c^{2}-{frac {1}{4}}b^{2}}}}

mc=12a2+12b2−14c2{displaystyle m_{c}={sqrt {{frac {1}{2}}a^{2}+{frac {1}{2}}b^{2}-{frac {1}{4}}c^{2}}}}

高线长度

设在ΔABC{displaystyle Delta ABC,}中，連接三个顶点A{displaystyle A}、B{displaystyle B}、C{displaystyle C}上的高分別记作ha{displaystyle h_{a}}、hb{displaystyle h_{b}}、hc{displaystyle h_{c}}，則：

ha=2s(s−a)(s−b)(s−c)a{displaystyle h_{a}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}}

hb=2s(s−a)(s−b)(s−c)b{displaystyle h_{b}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}}

hc=2s(s−a)(s−b)(s−c)c{displaystyle h_{c}={frac {2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}}

其中 s=a+b+c2{displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}} 。

角平分线长度

设在ΔABC{displaystyle Delta ABC,}中，若三个角A{displaystyle A}、B{displaystyle B}、C{displaystyle C}的角平分线分别为ta{displaystyle t_{a}}、tb{displaystyle t_{b}}、tc{displaystyle t_{c}}，则：

ta=1b+c(b+c+a)(b+c−a)bc{displaystyle t_{a}={frac {1}{b+c}}{sqrt {left(b+c+aright)left(b+c-aright)bc}}}

tb=1a+c(a+c+b)(a+c−b)ac{displaystyle t_{b}={frac {1}{a+c}}{sqrt {left(a+c+bright)left(a+c-bright)ac}}}

tc=1a+b(a+b+c)(a+b−c)ab{displaystyle t_{c}={frac {1}{a+b}}{sqrt {left(a+b+cright)left(a+b-cright)ab}}}

三角形的心

三角形的內心、外心、垂心及形心稱為三角形的四心，定義如下：

名称	定义	图示	备注
內心	三个內角的角平分线的交點		該點為三角形內切圓的圓心。
外心	三條邊的中垂線的交點		該點為三角形外接圓的圓心。
垂心	三条高线的交點
形心（重心）	三条中线的交點		被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）。

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

名称	定义	图示	备注
旁心	外角的角平分线的交點		有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

外接圆和内切圆半径

設外接圆半径為R{displaystyle R} ， 内切圆半径為r{displaystyle r} ，則：

R=abc(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c){displaystyle R={frac {abc}{sqrt {left(a+b+cright)left(b+c-aright)left(a+c-bright)left(a+b-cright)}}}}

r=(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)2(a+b+c){displaystyle r={frac {sqrt {left(a+b+cright)left(b+c-aright)left(a+c-bright)left(a+b-cright)}}{2left(a+b+cright)}}}

面積

基本公式

三角形的面積 A{displaystyle A} 是底邊 b{displaystyle b} 與高 h{displaystyle h} 乘積的一半，即：

A=12bh{displaystyle A={frac {1}{2}}bh}，

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

證明

三角形的面積可表示為一長方形面積的一半。

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 bh{displaystyle bh} 的長方形。因此原來的三角形面積為

A=12bh{displaystyle A={frac {1}{2}}bh}。

證畢。

已知兩邊及其夾角

設 a{displaystyle a} b{displaystyle b} 為已知的兩邊， γ{displaystyle gamma } 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：

A=12absin⁡γ{displaystyle A={frac {1}{2}}absin {gamma }}。

證明

三角形的高h能以正弦的定義表示。

觀察右圖，根據正弦的定義：

sin⁡γ=ha{displaystyle sin gamma ={frac {h}{a}}}。

因此：

h=asin⁡γ{displaystyle h=asin gamma }。

將此式代入基本公式，可得：

A=12b(asin⁡γ)=12absin⁡γ{displaystyle A={frac {1}{2}}b(asin gamma )={frac {1}{2}}absin {gamma }}。

證畢。

已知兩角及其夾邊

β{displaystyle beta } 、 γ{displaystyle gamma } 為已知的兩角， a{displaystyle a} 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：

A=a2sin⁡βsin⁡γ2sin⁡(β+γ){displaystyle A={frac {a^{2}sin beta sin gamma }{2sin(beta +gamma )}}}。

證明

三角形的面積能從兩角及其夾邊求得。

從正弦定理可知：

bsin⁡β=asin⁡αb=asin⁡βsin⁡α{displaystyle {begin{aligned}{frac {b}{sin beta }}&={frac {a}{sin alpha }}\b&={frac {asin beta }{sin alpha }}\end{aligned}}}

代入 A=12absin⁡γ{displaystyle A={frac {1}{2}}absin gamma } ，得：

A=a2sin⁡βsin⁡γ2sin⁡α{displaystyle A={frac {a^{2}sin beta sin gamma }{2sin alpha }}}。

注意到α+β+γ=180∘{displaystyle alpha +beta +gamma =180^{circ }}，因此：

A=a2sin⁡βsin⁡γ2sin⁡[180∘−(β+γ)]=a2sin⁡βsin⁡γ2sin⁡(β+γ){displaystyle {begin{aligned}A&={frac {a^{2}sin beta sin gamma }{2sin[180^{circ }-(beta +gamma )]}}\&={frac {a^{2}sin beta sin gamma }{2sin(beta +gamma )}}\end{aligned}}}

證畢。

已知三邊長

海伦公式，其表示形式為：

A=s(s−a)(s−b)(s−c){displaystyle A={sqrt {sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}，

其中 s{displaystyle s} 等於三角形的半周長，即：

s=a+b+c2{displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}}

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

A=14[c2a2−(c2+a2−b22)2]{displaystyle A={sqrt {{frac {1}{4}}{left[c^{2}a^{2}-left({frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}right)^{2}right]}}}}

也有用幂和来表示的公式：

A=14(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4){displaystyle A={frac {1}{4}}{sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

16⋅A2=−|0a2b21a20c21b2c2011110|{displaystyle 16cdot A^{2}=-{begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0\end{vmatrix}}}

基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 a≥b≥c{displaystyle ageq bgeq c} ，三角形面積為：

A=14[a+(b+c)][c−(a−b)][c+(a−b)][a+(b−c)]{displaystyle A={frac {1}{4}}{sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}}。

已知坐标系中三顶点坐标

由 (x1,y1){displaystyle (x_{1},y_{1})} 、 (x2,y2){displaystyle (x_{2},y_{2})} 及 (x3,y3){displaystyle (x_{3},y_{3})} 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的絕對值表示：

A=|12|x1y11x2y21x3y31||{displaystyle A=left|{frac {1}{2}}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}right|}

若三個頂點設在三維座標系上，即由 (x1,y1,z1){displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 、 (x2,y2,z2){displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} 及 (x3,y3,z3){displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})} 三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

A=12|x1y11x2y21x3y31|2+|y1z11y2z21y3z31|2+|z1x11z2x21z3x31|2{displaystyle A={frac {1}{2}}{sqrt {{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&y_{3}&1end{vmatrix}}^{2}+{begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\y_{2}&z_{2}&1\y_{3}&z_{3}&1end{vmatrix}}^{2}+{begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\z_{2}&x_{2}&1\z_{3}&x_{3}&1end{vmatrix}}^{2}}}}

已知周界及內切圓或外接圓半徑

設三角形三邊邊長分別為 a{displaystyle a} 、 b{displaystyle b} 及 c{displaystyle c} ，三角形半周長（ a+b+c2{displaystyle {frac {a+b+c}{2}}} ）為 s{displaystyle s} ，內切圓半徑為 r{displaystyle r}，則：

A=sr{displaystyle A=sr}

若設外接圓半徑為 R{displaystyle R} ，則：

A=abc4R{displaystyle A={frac {abc}{4R}}}

證明

內切圓半徑公式

三角形被三條角平分線分成三分。

根據右圖，設 AB=c{displaystyle AB=c} ， b=AC{displaystyle b=AC} ， BC=a{displaystyle BC=a} ，則三角形面積可表示為：

A=12ar+12br+12cr=r(a+b+c)2=rs{displaystyle {begin{aligned}A&={frac {1}{2}}ar+{frac {1}{2}}br+{frac {1}{2}}cr\&={frac {r(a+b+c)}{2}}\&=rsend{aligned}}}

外接圓半徑公式

根據正弦定理：

csin⁡γ=2Rsin⁡γ=c2R{displaystyle {begin{aligned}{frac {c}{sin gamma }}&=2R\sin gamma &={frac {c}{2R}}\end{aligned}}}

因此：

A=12absin⁡γ=12ab(c2R)=abc4R{displaystyle {begin{aligned}A&={frac {1}{2}}absin gamma \&={frac {1}{2}}ableft({frac {c}{2R}}right)\&={frac {abc}{4R}}end{aligned}}}

已知兩邊向量

設從一角出發，引出兩邊的向量為 a{displaystyle mathbf {a} } 及 b{displaystyle mathbf {b} } ，三角形的面積為：

A=12|a×b|{displaystyle A={frac {1}{2}}|mathbf {a} times mathbf {b} |}

半角定理

在三角形ABC{displaystyle ABC,}中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：

tan⁡A2=(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)a+b+cb+c−atan⁡B2=(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)a+b+ca+c−btan⁡C2=(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)a+b+ca+b−c{displaystyle {begin{aligned}tan {frac {A}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{b+c-a}}\tan {frac {B}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+c-b}}\tan {frac {C}{2}}&={frac {sqrt {dfrac {(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+b-c}}\end{aligned}}}

其他三角形有关的定理

• 外角定理


• 拿破仑三角形


• 费马点


• 欧拉线


• 梅涅劳斯定理


• 樞紐定理

參考資料

參看

• 三角學